1.3 Les mathématiques grecques sous le joug de Platon

Les Grecs anciens ont été de grands inventeurs dans le domaine des mathématiques. De Pythagore à Archimède en passant par Euclide, les progrès sont remarquables par rapport aux mathématiques des civilisations qui les précèdent. C’est justement chez Euclide, dans ses célèbres Éléments, que l’on retrouve dans sa forme la plus accomplie la quintessence des mathématiques grecques : la démonstration mathématique. Ou peut-être faudrait-il parler plus précisément de démonstration géométrique, car les mathématiques grecques dont témoigne le livre d’Euclide étaient largement dominées par le discipline de la géométrie.

Tout livre d’histoire des mathématiques aura probablement son mot à dire sur la démonstration géométrique comme trait distinctif des mathématiciens grecs. Mais de quoi s’agit-il exactement? Je présente en premier lieu l’interprétation la plus communément acceptée de ce qu’elle est. Dans un système mathématique, la démonstration se compose d’une suite de propositions mathématiques dont la vérité de chacune entraîne nécessairement la vérité d’une conclusion (déduite de la suite de propositions précédentes). (Dans ce système, tout n’est pas démontré. Il existe des propositions de départ, appelées axiomes, qui sont considérées vraies par leur simple évidence.)

Dans sa remarquable somme De Pythagore à Euclide, l’historien Paul-Henri Michel présente une discussion préliminaire passant progressivement d’une explication de la démonstration géométrique chez les Grecs à son importance pour comprendre l’abstraction mathématique (Michel 1950).

La démonstration géométrique est conçue comme la preuve d’un théorème géométrique, la preuve que cette affirmation est vraie sans exception. Le théorème est nécessairement vrai, par opposition à une proposition mathématique qui serait parfois vraie, parfois fausse, dépendamment de certaines conditions matérielles ou temporelles. Je prends l’exemple bien connu du théorème de Pythagore. Selon ce théorème, le carré ayant pour côté l’hypoténuse (c) d’un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés (a et b). Mais comment prouve-t-on ce théorème? Sachons tout d’abord que l’on recense au moins une centaine de preuves géométriques du théorème. Elles ont cependant toutes un point commun : toutes ces démonstrations font appel à des techniques de manipulations de la règle et du compas, les deux seuls outils admis par les géomètres grecs. Les démonstrations géométriques sont des combinaisons de lignes et de courbes concrètes dessinées avec la seule aide de la règle et du compas. Lorsque l’on trouve dans le livre d’Euclide la démonstration du théorème sous forme de propositions, il faut bien voir que les axiomes géométriques, ces propositions ou définitions de départ, sont dérivés de ce que permettent de faire les outils concrets des géomètres. Plus encore, la vérité des axiomes est admise sur simple évidence d’expériences concrètes, comme nous le rappelle Paul-Henri Michel.

Remarquons ici que la pratique des arts, notamment de l’arpentage et de l’architecture, est inséparable des débuts de la géométrie. L’idée euclidienne de la ligne droite est empruntée à cette pratique. Les axiomes des Grecs ne sont pas seulement intuitifs mais pragmatistes; ce sont des propositions « dans lesquelles s’affirme notre pouvoir pratique reconnu et sur lesquelles la science s’appuie pour étendre notre action sur le monde ». G. Sorel note à ce sujet qu’Euclide va toujours du concret à l’abstrait : il définit le cercle avant la circonférence, celle-ci n’étant que la limite de celui-là. De même, pour le constructeur, la ligne n’est qu’une arête, une intersection de surfaces. Une vérité fondée sur la pratique des arts est considérée comme évidente. Exemple : Euclide admet sans discussion qu’on peut mener une droite perpendiculaire à une droite donnée, tandis que le mathématicien moderne croit devoir prouver cette possibilité. Pour le géomètre grec, une notion suffisamment claire se passe de preuve – et il n’est pas « de notion plus claire que celle que suggère la vue d’un appareil parfaitement exécuté ». (Michel 1950, p.56-57)

Mais qu’en est-il alors de ce passage du concret vers l’abstrait –l’abstraction mathématique– que note G. Sorel? Il faut bien voir que le contexte a complètement changé. Tout à l’heure, il n’était pas encore question d’écriture des propositions mathématiques. Par contre, les mathématiciens grecs ont hérité des Égyptiens et des Asiatiques des techniques utilitaires de mesures et de calculs qui accordaient déjà une place importante à l’écriture. Ces civilisations connaissaient aussi les démonstrations, mais les Grecs en sont devenus rapidement les maîtres.

Rappelons maintenant qu’il existe plusieurs preuves du théorème de Pythagore. Autrement dit, il existe plusieurs manières concrètes de prouver la même égalité. Mais puisqu’il s’agit toujours du même théorème, de la même égalité, doit-on comprendre que le théorème a une existence sous une forme qui « échappe » à ses représentations concrètes? Platon met ici en mots ce que les mathématiciens pythagoriciens avaient déjà reconnu :

Tu sais que les géomètres se servent de figures visibles et qu’ils raisonnent sur ces figures, quoique ce ne soit point à elles qu’ils pensent, mais à d’autres figures, représentées par celles-là. Par exemple, leurs raisonnements ne portent pas sur le carré ni la diagonale tels qu’ils les tracent, mais sur le carré en soi, sur la diagonale en soi, et il faut en dire autant de toutes les autres figures. Toutes ces figures qu’ils représentent soit en relief, soit par le dessin et qui ont elles-mêmes leurs images soit par ombre porté, soit dans le reflet des eaux, ils les emploient comme si c’étaient aussi des images, pour arriver à considérer ces objets supérieurs qu’on ne peut saisir que par la pensée. (République, VI, 510 d-e, tiré de Michel 1950, p.59)

L’abstraction mathématique apparaît sous la plume de Platon comme une idéalisation des objets mathématiques au-delà de leur représentations concrètes et imparfaites. L’idéalisation platonicienne est une idéalisation objective, au sens où comme nous l’avons vu dans la première partie, Platon nous assure que les objets mathématiques abstraits ont une existence bien réelle dans le domaine de l’intelligible.

L’interprétation platonicienne de l’abstraction mathématique a longtemps servi et continue de servir de référence parmi les mathématiciens et autres spécialistes des mathématiques. Elle apparaît ici fondée sur l’idée que les mathématiques existent au-delà de toutes relations analogiques entre le domaine d’expériences concrètes des manipulations d’outils de mesure et le domaine de l’abstraction mathématique. Cependant, après avoir étudié les propos des deux historiens déjà cités, l’interprétation platonicienne apparaît complètement « déconnectée » de la réalité.

En sorte que ce sont bien, malgré tout, des vérifications expérimentales et des tracés matériels qui soutiennent (au départ) la géométrie pythagoricienne, puis la géométrie euclidienne et permettent leurs progrès. Les expériences « idéalisées et généralisées » de toute géométrie sont néanmoins des expériences. Comment expliquer autrement le souci du tracé exact, et, peut-être, la rigueur avec laquelle certains géomètres de l’Antiquité bannissaient tout autre instrument que la règle et le compas?

L’intransigeance des Grecs sur ce point, explicitée par Platon et perpétuée comme un dogme, a disparu de l’époque moderne, mais non sans laisser place à une préférence bien marquée : « Pour composer ou décomposer une figure quelconque, écrit Pierre Boutroux, … on utilise surtout des lignes droites construites avec la règle et des circonférences de cercle tracées avec le compas. Même si la figure à étudier n’est formée ni de droites ni de cercles – s’il s’agit d’une ellipse, par exemple – c’est en étudiant les relations qu’a cette ellipse avec certaines droites et certains cercles auxiliaires qu’on en manifestera les propriétés ». Les Grecs allaient plus loin. Sans doute traçaient-ils des courbes non-circulaires et tels d’entre eux (Hippias, Dinostrate, Archytas) ont-ils inventé ou utilisé des moyens mécaniques pour en tracer. Mais ces moyens ont été blâmés par Platon, si bien que, postérieurement à lui – et jusqu’à Descartes – les courbes autres que le cercle furent reléguées en marge de la pure géométrie, désignées sous le nom de « lieux mécaniques » et non sous celui des lieux géométriques, cette dénomination étant réservée aux seules constructions effectuées par règle et compas. (Michel 1950, p. 63-64) 

Les paroles citées de Pierre Boutroux sont particulièrement éloquentes sur la manière dont les mathématiciens continuent de privilégier une géométrie fondée sur l’usage de la règle et du compas. Cela n’a rien à voir avec la vérité des méthodes, mais plutôt avec leur utilité. Ce qui permet au géomètre de faire son travail, ce n’est pas la vérité des propositions abstraites, mais la simplicité et l’utilité des analogies entre l’usage de la règle et du compas et la décomposition géométrique d’une figure quelconque.

Comme l’indique Michel, Platon récusait tout autre outil que la règle et le compas. J’en tire pour ma part deux conclusions. La première suggère que cette limitation de l’outillage concret a sûrement fortement marqué l’écriture des axiomes nécessaires aux démonstrations géométriques. Les outils de mesure apparaissent comme des « axiomes manuels » qui sont les sources concrètes des axiomes abstraits que décrit Euclide dans ses Éléments.

La limitation de l’outillage que Platon institue en dogme traduit la volonté de ne pas voir les axiomes se multiplier et se complexifier au gré de l’invention de nouveaux outils mécaniques. Plus d’outils concrets signifie plus d’axiomes abstraits, mais des axiomes d’autant moins évidents qu’ils sont difficile à saisir par l’esprit ou même simplement à reproduire précisément à la main sans outil mécanique (on pense ici par exemple au tracé de la spirale d’Archimède).

La seconde conclusion suggère que le blâme de Platon a été néfaste pour le développement même des mathématiques grecques. Il y a bien eu des mathématiciens grecs postérieurs à Platon pour s’intéresser aux tracés géométriques que pouvaient exécuter des machines. Archimède, qui passe pour le plus grand mathématicien grec, était de ceux-là. Il a bien construit des machines pour dessiner sa fameuse spirale, mais il n’a jamais vraiment osé transgresser l’interdiction de leur usage dans les démonstrations. Mal lui en pris, car il aurait sans doute résolu l’un des plus célèbres problèmes de mathématiques grecques, celui de la quadrature du cercle. En effet, ce problème est insoluble par l’usage de la règle et du compas seuls, mais trouve sa solution lorsqu’on s’accorde le droit d’utiliser une machine pouvant exécuter le tracé de la spirale d’Archimède.

Des dires de Michel, le blâme de Platon a exercé son influence jusqu’à Descartes. Allons donc rejoindre le 17e siècle pour comprendre les débuts d’une lente réconciliation entre les mathématiques et la mécanique. L’histoire de cette réconciliation aura des répercussions sur les théories de l’esprit qui culmineront dans la métaphore de l’esprit comme ordinateur.