1.2. La main, première machine à calculer

Dans l’introduction de son ouvrage remarquable Histoire universelle des chiffres, qui a passionné autant les spécialistes universitaires que le grand public, Georges Ifrah nous fait une confidence :

La découverte personnelle – que je voudrais vous faire partager – la plus extraordinaire que j’ai faite en préparant ce livre, c’est que les chiffres – je dis bien les chiffres – loin d’être ces symboles secs et arides que bien des gens dénoncent comme étant les armes et les vecteurs de notre société technicienne, ont été de tous temps aussi supports de rêve, du fantasme, de la spéculation métaphysique, matériaux de la littérature, sondes de l’avenir incertain ou du moins du désir de prédire. Les chiffres sont une substance poétique. Autant que les mots, ou presque, ils ont été les outils du poète en même temps que les instruments du comptable et de l’homme de science. Aussi, par leur universalité qui transparaît au travers de la multiplicité des solutions proposées au problème de la numération, par leur histoire qui converge lentement mais sûrement vers la formule qui a aujourd’hui partout prévalu – celle de la numération décimale de position – les chiffres portent-ils témoignage mieux et plus que la Babel des langues, l’unité profonde de la culture humaine. À les considérer, la prodigieuse et féconde diversité des sociétés et des histoires s’efface devant le sentiment d’une continuité quasi absolue. Les chiffres ne sont pas toute l’histoire de l’homme, mais ils la relient, la résument, la parcourent de bout en bout comme ce fil rouge qui d’après Goethe, allait d’une extrémité à l’autre de tous les cordages de la marine anglaise, si bien qu’on ne pouvait en détacher le moindre fragment sans reconnaître qu’il appartenait à la Couronne. Les chiffres sont profondément humains. (Ifrah 1981)

Cette « découverte personnelle » dont parle Ifrah a assurément une grande parenté avec la thèse défendue ici. « Les chiffres sont une substance poétique », comme il le dit lui-même. Autrement dit, les chiffres ont de tout temps dérivé leur signification métaphorique des techniques de comptage et de mesure qui ont jalonné l’histoire de la culture humaine. Comme son livre l’illustre à merveille, l’usage des chiffres depuis ses origines est indissociable de la capacité humaine de mettre en correspondance deux domaines distincts d’expériences.

Ainsi devons-nous comprendre l’usage de la « première machine à calculer » qu’est la main (Ifrah 1981, chapitre 3). La plupart des civilisations, antiques ou mêmes contemporaines (Note 3), témoignent d’un usage courant des mains pour compter les choses. Ifrah voit d’ailleurs dans cet usage des doigts l’explication de la domination du système décimal parmi les cultures humaines. La technique de base repose essentiellement sur une mise en correspondance un à un des doigts et des choses dénombrées : un doigt pour un mouton, deux doigts pour deux moutons, trois doigts pour trois moutons, etc. À vrai dire, cette mise en correspondance peut se passer de traduction linguistique comme le montre de nombreux témoignages à propos d’analphabètes capables de dénombrer et de garder le compte des éléments d’un ensemble. Ifrah montre aussi que cet usage primitif de configurations manuelles a souvent évolué pour permettre le dénombrement des dizaines, voire des centaines.

La main est pour ainsi dire la première calculatrice personnelle. Non seulement elle permet de dénombrer efficacement, elle permet aussi de calculer, c’est-à-dire d’exécuter des opérations mathématiques comme l’addition et la multiplication par une succession de mouvements des doigts. La succession se conclut par une configuration manuelle qui représente le résultat de l’opération appliquée aux configurations (nombres) de départ.

Bien sûr, si l’usage de la main pour compter est répandu dans toutes les cultures anciennes, elle n’est pas pour autant le seul instrument de calcul dont se servaient nos ancêtres. Les techniques de l’entaille sur bois ou du tas de cailloux avaient aussi leur utilité courante. L’analogie entre les différentes techniques est flagrante.

Il est vrai, et nous avons déjà eu l’occasion de le souligner, qu’au même titre que la pratique de l’entaille sur os ou sur bois, la constitution du tas de cailloux (ou de toute sorte d’objets concrets) marque, pour ainsi dire, le « degré zéro » de la technique du nombre. Tout comme la première méthode, cette traduction matérielle du concept numérique fournit une méthode de comptabilité silencieuse, n’exigeant aucune mémoire et ne faisant intervenir que le principe de correspondance unité par unité. Il n’est donc nullement besoin d’être intellectuellement préparé au concept du comptage pour pouvoir l’utiliser. Ainsi, comme nous l’avons vu, grâce à ce procédé, un berger peut connaître à tout moment l’effectif de son troupeau sans même que la notion de nombre soit conçue abstraitement dans son esprit. […]
Une certaine abstraction n’est cependant pas totalement absente de l’utilisation de ce principe : vingt cailloux, par exemple, peuvent tout aussi bien représenter vingt hommes que vingt chevaux ou vingt mesures de grain. Du reste, lorsque l’esprit humain se fut suffisamment développé pour arriver à concevoir l’artifice de la succession, il parvint à considérer les cailloux sous l’angle du comptage abstrait. Grâce au principe du tas de cailloux, il lui était désormais possible de compter même des êtres ou des objets ayant disparu de son champ visuel. (Ifrah 1981, p.99)

Dans un premier temps, Ifrah nous apprend ici qu’il est possible de compter sans pour autant avoir les concepts du comptage et du nombre. Compter relève de différentes techniques concrètes, à l’échelle de la main, de mise en correspondance analogique d’unités provenant de deux domaines d’expériences : une entaille pour un gibier capturé, un caillou pour un jour, un doigt pour une pièce de monnaie. Les nombres n’ont pas encore de nom, ils ne sont pas distingués des objets concrets qui les représentent. À ce stade, les nombres ne sont pas encore abstraits.

C’est ainsi que nous sommes amenés à considérer l’un des sujets les plus discutés en philosophie des mathématiques : l’abstraction mathématique. L’abstraction se comprend ici par opposition à ce qui est concret. Comment les nombres concrets deviennent-ils abstraits? Comment se fait-il que nous pouvons compter et calculer sans faire appel à aucune manipulation concrète?

L’abstraction mathématique désigne cette capacité bien humaine de détacher les nombres de la réalité concrète et d’en faire des outils abstraits et mentaux que l’on nomme et symbolise : « un », « deux », « 3 », « + », « = ».

Si on suit la suggestion d’Ifrah (qui n’est aucunement un philosophe), la première étape historique de l’abstraction mathématique apparaît lorsque l’humain comprend qu’un même tas de cailloux peut servir à dénombrer différentes catégories de choses. C’est en quelque sorte la première forme de généralisation des nombres : le domaine source du tas de cailloux s’applique à différents domaines cibles d’expériences. En somme, un même tas peut représenter plusieurs ensembles différents, mais le tas n’est utile que lorsque la correspondance est exclusive entre le tas et un ensemble. Et il y a quand même un petit exercice de mémoire à l’œuvre pour se souvenir de la technique et de la bonne correspondance de base (un caillou par tête de bétail ou par homme parti à la guerre?)

Mais s’agit-il vraiment d’abstraction? Ifrah complète sa pensée à la fin de la citation : « il lui était désormais possible de compter même des êtres ou des objets ayant disparu de son champ visuel ». L’abstraction se situe justement dans le caillou qui représente un objet qui n’est plus à la portée de nos sens. Cet objet a disparu mais au moyen d’une analogie, l’esprit humain peut en conserver une trace concrète. L’objet abstrait, c’est l’objet absent, celui qui n’est plus sous nos yeux mais qui est analogiquement remplacé par un objet concret. Il est crucial que l’objet abstrait soit mis en correspondance avec un signe concret, sinon nous perdons la trace de l’objet abstrait.

Après avoir présenté les premières méthodes des nombres concrets, Ifrah présente en long et en large l’évolution de l’écriture des chiffres. Il est sans doute difficile pour nous d’imaginer comment cette évolution a été longue et tortueuse, comment les humains ont pu errer pendant des millénaires avant d’inventer les techniques de calcul qui sont enseignées aujourd’hui aux enfants dans toutes les écoles primaires. Car les techniques d’écriture des chiffres (et des mathématiques en général) demeurent avant tout des techniques manuelles, des techniques concrètes qui s’apparentent à celles des artisans. Tout comme le potier arrive à faire de la meilleure poterie en améliorant ses techniques, les premiers mathématiciens ont amélioré les mathématiques à coup d’innovations successives de leurs techniques de numération et de notation. Comme ces techniques font appel à des analogies entre différents domaines d’expériences concrètes ou abstraites, tenter de comprendre l’abstraction mathématique en la dissociant de toute dimension concrète ne peut conduire qu’à une distorsion de la manière dont nous inventons et utilisons les mathématiques. Platon, encore lui, nous en donne un exemple à l’instant.