1.9 Une courte note sur Gödel

Si je fais cette note sur Kurt Gödel (1906-1978), c’est que l’explication de ses théorèmes d’incomplétude est nécessaire pour bien saisir ce que fera plus tard Turing. On continue l’enquête sur la métaphore mathématique, la métaphore qui jaillit de la rencontre de la mesure mathématique et de la pensée. Il sera surtout question ici d’une analogie proposée entre la technique d’écriture de la logique et celle de l’arithmétique. Je serai bref.

Boole avait proposé une première notation concrète pour la métaphore « pensée comme calcul mathématique », Frege insiste sur la pensée et néglige le calcul. Il conçoit les pensées comme des objets insensibles saisissables uniquement par l’esprit. Gödel délaisse la métaphysique des concepts de Frege et redonne goût au calcul, à la combinatoire, au formalisme de la preuve mathématique. Gödel retisse les liens entre la logique et le calcul arithmétique, ressuscitant l’idée de Boole que Frege avait voulu enterrer. Il donne un nouveau sens précis au projet logiciste fondationnaliste en prenant la logique frégéenne comme logique de la preuve appliquée à l’arithmétique. Les vérités mathématiques exigent des preuves mathématiques, mais comment mesurer la validité de ces preuves? Cette question s’applique ici à l’arithmétique, et la logique des prédicats agit à titre de mesure (de la validité) des preuves des vérités arithmétiques. Il établit ainsi une hiérarchie entre le métalangage logique et le langage-objet arithmétique. Remarquez la parenté avec la pensée métaphorique ordinaire, la correspondance ou la comparaison entre deux domaines d’expériences source et cible. La compréhension de l’argument de Gödel présupposera ici une compréhension intuitive du « mécanisme » de l’analogie ordinaire. Le processus métaphorique est ici entièrement mathématisée. L’idée est de se servir de la logique formelle pour mesurer l’arithmétique. Cela peut sembler extrêmement abstrait, mais l’idée est très simple : la logique frégéenne contient toutes les règles pour les preuves arithmétiques.

La question est maintenant de savoir ce que l’on attend de la combinaison de ces deux systèmes. On s’attend à ce qu’ils soient « consistants », c’est-à-dire qu’ils ne se contredisent pas ou qu’ils ne permettent pas de prouver un énoncé et sa négation. On s’attend aussi à ce que ce couple de systèmes formels soient complets, c’est-à-dire qu’ils soient capables de prouver tous les énoncés logiquement vrais. Mais le génie de Gödel est d’avoir montré que l’union hiérarchique des deux systèmes formels sert de point d’appui à une démonstration de l’incomplétude de ces systèmes s’ils sont consistants!

Gödel procède à ce que l’on appelle une « projection » du métalangage dans le langage. Par projection, on veut dire que Gödel a trouvé le moyen d’exprimer les règles logiques dans le langage arithmétique. L’explication complète est complexe et aride quand on n’est pas habitué à ce genre de langage. Je vais m’en tenir à ce qu’il y a de plus pertinent pour ma thèse.

Gödel commença par montrer qu’il est possible d’assigner un nombre unique à chaque signe élémentaire, à chaque formule (ou suite de signes) et à chaque démonstration (suite finie de formules). Ce nombre, qui joue le rôle de signe distinctif, s’appelle « le nombre de Gödel » du signe, de la formule ou de la démonstration. 
[…] puisque toute expression du calcul se trouve associée à un nombre (de Gödel), les assertions métamathématiques concernant les expressions et leurs relations peuvent se transformer en assertions portant sur les nombres (de Gödel) correspondants et leurs relations arithmétiques. De cette manière, les métamathématiques se trouvent entièrement « arithmétisées ». (Nagel 1989, pp.70-71)

Prendre la mesure d’un système énumérable (le calcul arithmétique) par un autre système énumérable (la logique frégéenne) rend l’union des deux systèmes incomplets. En bref, la méthode de mesure logique des preuves arithmétiques permet de faire une mesure contradictoire, à savoir prouver un énoncé et sa négation. Cet énoncé est justement celui qui affirme de lui-même qu’il n’est pas prouvable au moyen de cette projection du système logique dans le système arithmétique. Il faut donc que cet énoncé ne soit pas prouvable. Mais alors cet énoncé est vrai. Ainsi, pour être consistants, les systèmes formels en question doivent être incomplets. C’est le génie de Gödel d’avoir trouver le moyen de prouver logiquement que la mesure « par preuve logique » n’est pas fiable ou vraie. Elle ne l’est pas au sens où le système de mesure ne permet pas de prouver un énoncé qui est manifestement vrai pour le calculateur humain. Plusieurs spécialistes en ont conclu que les systèmes arithmétiques et logiques n’ont pas le monopole de la vérité, même mathématique. Le calculateur humain, par son intuition mathématique, comprend le vrai au delà du formalisme frégéen. On en conclut simplement que l’intuition est l’acte mental de saisir les vérités mathématiques. Pour Gödel, l’esprit humain est bien plus qu’une simple machine à calculer, c’est un contemplateur d’objets mathématiques.